問題解決の宝石箱

競技プログラミング／数学ネタ置き場

鳩の巣原理特集

数学

Competitive Programming Advent Calendar 2016 23日目の記事です。

鳩の巣原理と、競技プログラミングでの使われ方を紹介します。

鳩の巣原理とは

昔々あるところに、5羽の鳩がおりました。彼らをすべて巣箱に入れたいのですが、あいにく巣は4つしかありませんでした。 すると以下の図のように、どこか1つの巣には2羽以上の鳩が入ってしまいます。

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適当な入れ方をすると、2羽より多い巣があったり、空の巣があるかもしれません。でも、どんな入れ方をしても「どこかの巣には2羽以上」入ることが保証されます 。

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一般に n 羽の鳩を m < n 個の巣にいれるとき、どこか 1 つの巣には鳩が2羽以上入ります。

更に一般化。巣に入っている鳩の最大数を最小化しようとすると、各巣になるべく均等に鳩を配る形になります。 このとき、鳩の数の最大値は { \lceil n / m \rceil } *1 となり、これが最大値の下限になります。 以下の図は n = 10, m = 4 とした例で、最低でも3羽以上の鳩が入っている巣があることを示しています。

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*1:小数点以下を切り上げる

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SRM700 Div1Medium. CrazyFunctions

Topcoder ☆8 2016年 数え上げ

SRM700 Div1Medium. CrazyFunctions

整数 {n}, {k} が与えられる。以下の条件を満たす関数 {f} を数え上げよ。

  • {f} の定義域および値域は 1以上n以下の整数である。
  • {Z(f) = k} を満たす。関数 {Z} の定義は以下の通り。
    • {Z(f)} は {S(f, w)} の最小値を返す関数。 {w} は任意の非負整数。
    • {S(f, w)} は 集合 {G(f, w)} の要素数。
    • {G(f, w)} は {w} 以上の整数 {r} について、関数 { f^{r}(x)} の取りうる値の集合。
      • { f^{w}(x)} とは、関数 {f} を {x} に {w} 回適用した値。 {f^{0}(x) = x}、および {f^{j+1}(x) = f^{j}(f(x))} を満たす。

制約

  • {1 \leq n \leq 5000}
  • {1 \leq k \leq n}
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指定区間の最大値／最小値のインデックスを求めるクエリにたくさん答えたい part2

データ構造

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hama-du-competitive.hatenablog.com

前回の記事の最後で紹介した練習問題の解答編。問題を整理して再掲する。

長さ {N} の数列 { a_{1}, a_{2}, ... , a_{N} } が与えられる。クエリに {Q} 個答えよ。

全ての問題において、制約は以下の通り。

  • 数列の長さ：{ 1 \leq N \leq 10^5 }
  • 要素の値：{ 1 \leq a_{i}, v \leq 10^9 }
  • クエリの数：{ 1 \leq Q \leq 10^5 }

問題1

  • i 番目の値を v に変更する。
  • l 番目から r 番目の値の中で、最小値とそのインデックスを求める。複数ある場合は、インデックスの合計 を出力。

問題2

  • i 番目の値を v に変更する。
  • l 番目から r 番目の値の中で、 最も左端で*1 v 以下になるインデックス を求める。存在しない場合はその旨を報告。

問題3

  • l 番目から r 番目の値を v に変更する。
  • l 番目から r 番目の値の中で、最小値とそのインデックスを求める。複数ある場合は、最も左端の*2インデックスを求めること。

*1:最も l に近い

*2:最も l に近い

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Codeforces Goodbye 2015 D. New Year and Ancient Prophecy

Codeforces 数え上げ 2015年 ☆5

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Codeforces Goodbye 2015 D. New Year and Ancient Prophecy

{ n } 桁の数が与えられる。桁の間にいくつか*1線を引いて分割し、新たな数列を得ることを考えよう。

例えば、数 314159265358979 を 3 | 141 | 592 | 6535 | 8979 のように分割すると、数列

{ \displaystyle a = \{ 3, 141, 592, 6535, 8979 \} }

が得られる。

数を分割して数列にした時、要素が真に昇順に並んでいる（{ a_{1} \lt a_{2} \lt ... \lt a_{k} }）ような分割の仕方は何通りあるだろうか？

制約

  • 桁数：{ 1 \leq n \leq 5000 }

*1:0個でもよい

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指定区間の最大値／最小値のインデックスを求めるクエリにたくさん答えたい part1

典型 データ構造 ☆4

この問題を以下のように定式化した。効率よく解けるだろうか？

長さ {N} の数列 { a_{1}, a_{2}, ... , a_{N} } が与えられる。以下のクエリに {Q} 個答えよ。

  • クエリ1 : i 番目の値を v に変更する。
  • クエリ2 : l 番目から r 番目の値の中で、最小値とそのインデックスを求める。複数ある場合は、最も左端の*1インデックスを求めること。

制約は以下の通り。

  • 数列の長さ：{ 1 \leq N \leq 10^5 }
  • 要素の値：{ 1 \leq a_{i}, v \leq 10^9 }
  • クエリの数：{ 1 \leq Q \leq 10^5 }

*1:最も l に近い

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